Question

已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.

(1)求動點M的軌跡C的方程;

(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點,若A是PB的中點,求直線m的斜率.

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 (2) -或

【解析】

解:(1)設M到直線l的距離為d,

根據題意,d=2|MN|.

由此得|4-x|=2,

化簡得+=1,

所以,動點M的軌跡方程為+=1.

(2)法一　由題意,設直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).

將y=kx+3代入+=1中,

有(3+4k2)x2+24kx+24=0,

其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,

由求根公式得,

x1+x2=-, ①

x1x2=. ②

又因A是PB的中點,

故x2=2x1,③

將③代入①,②,得

x1=-,

=,

可得=,

且k2>,

解得k=-或k=,

所以,直線m的斜率為-或.

法二　由題意,設直線m的方程為y=kx+3,

A(x1,y1),B(x2,y2).

∵A是PB的中點,

∴x1=,①

y1=.②

又+=1,③

+=1.④

聯立①,②,③,④解得或

即點B的坐標為(2,0)或(-2,0),

所以,直線m的斜率為-或.