Question

已知橢圓的離心率為， 以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）設，過點作直線(不與軸重合)交橢圓于、兩點，連結、分別交直線于、兩點，試探究直線、的斜率之積是否為定值，若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由直線和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進而求橢圓的方程；（2）要說明直線、的斜率之積是否為定值，關鍵是確定、兩點的坐標.首先設直線的方程，并與橢圓聯立，設，利用三點共線確定、兩點的坐標的坐標，再計算直線、的斜率之積，這時會涉及到，結合根與系數的關系，研究其值是否為定值即可．

試題解析：（1），故 4分

（2）設，若直線與縱軸垂直，

則中有一點與重合，與題意不符，

故可設直線. 5分

將其與橢圓方程聯立，消去得：

6分

7分

由三點共線可知，，， 8分

同理可得 9分

10分

而 11分

所以

故直線、的斜率為定值. 13分

考點：1、橢圓的標準方程和簡單幾何性質；2、直線和橢圓的位置關系.