Question

求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截下的弦長為27的圓的方程.

Answer 1

解析：要求圓的方程，通常可以設圓的標準方程和一般式方程.

解法一:設圓的標準方程為(x-a)²+(y-b)²=r²(r＞0),?

∵圓心(a,b)在直線3x-y=0上,?

∴3a-b=0.①?

∵圓與x軸相切，

∴|b|=r.②?

設圓與直線x-y=0的交點為A、B,?

得2x²-(2a+2b)x+a²+b²-r²=0.?

∴2r²-a²-b²+2ab=14.                   ③?

由①②③,得a=1,b=3,r=3或a=-1,b=-3,r=3.?

∴圓的方程為(x-1)²+(y-3)²=3²或(x+1)²+(y+3)²=3².

解法二:設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0,?

∵圓與x軸相切,?

∴

∴D²-4F=0.                                                            ①?

∵圓心在直線3x-y=0上，?

∴E=3D.                                                                ②

設圓與直線x=y的交點為A、B，?

弦長|AB|=

得2x²+(D+E)x+F=0.

∴圓的方程為x²+y²+2x+6y+1=0或x²+y²-2x-6y+1=0.