Question

如圖，正四棱柱中，，點在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

解法一：

依題設，，．

（Ⅰ）連結交于點，則．

由三垂線定理知，．

在平面內，連結交于點，

由于，

故，，

與互余．

于是．

與平面內兩條相交直線都垂直，

所以平面．

（Ⅱ）作，垂足為，連結．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小為．

解法二：

以為坐標原點，射線為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標系．

依題設，．，．

（Ⅰ）因為

故，．

又，

所以平面．

（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則

，．

故，．

令，則，，．

等于二面角的平面角，

.

所以二面角的大小為．