Question

（2006•寶山區二模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC₁與底面成60°角，E、F分別為AA₁、AB的中點．求異面直線EF與AC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：根據直三棱柱的性質，得∠C₁AC就是AC₁與底面ABC所成的角，可得∠C₁AC=60°，Rt△C₁AC中算出AC₁=4．以CA、CB、CC₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，可得向量

EF

、

AC1

的坐標，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

EF

，

AC1

＞=

5

5

，即可得到異面直線EF與AC₁所成角的大小．

解答：解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥平面ABC，
∴∠C₁AC就是AC₁與底面ABC所成的角，得∠C₁AC=60°，
Rt△C₁AC中，AC=2，所以AC₁=4，…（3分）
以C為坐標原點，CA為x軸、CB為y軸、CC₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設異面直線EF與AC₁所成的角為θ，
可得A（2，0，0），C1(0，0，2

3

)，E(2，0，

3

)，
F（1，1，0），…（7分）
∴

EF

=(-1，1，-

3

)，

AC1

=(-2，0，2

3

)，…（9分）
可得cosθ=

| EF • AC1 |

| EF |•| AC2 |

=

5

5

，所以θ=arccos

5

5

即異面直線EF與AC₁所成角的大小為arccos

5

5

．…（12分）

點評：本題在直三棱柱中求異面直線所成角的大小．著重考查了直棱柱的性質、直線與平面所成角的定義和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．