Question

已知函數（其中為常數）.

(Ⅰ)當時，求函數的單調區間；

(Ⅱ) 當時，設函數的3個極值點為，且.

證明：.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)單調減區間為,;增區間為.

(Ⅱ)利用導數研究得到，所以，

當時，，，

∴ 函數的遞增區間有和，遞減區間有，，，

此時，函數有3個極值點，且；

當時，

通過構造函數，證得當時，.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)

令可得.列表如下:

	-	-	0	+
	減	減	極小值	增

單調減區間為,;增區間為.  5分

(Ⅱ)由題，

對于函數，有

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增

∵函數有3個極值點，

從而，所以，

當時，，，

∴ 函數的遞增區間有和，遞減區間有，，，

此時，函數有3個極值點，且；

∴當時，是函數的兩個零點，  9分

即有，消去有   

令，有零點，且

∴函數在上遞減，在上遞增

要證明   

 即證

構造函數，=0

只需要證明單調遞減即可.而， 在上單調遞增,

∴當時，. １４分

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極值，不等式的證明。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構造新函數，研究其單調性及最值，而達到目的。本題（II）難度較大。