Question

已知A₁，A₂為雙曲線C：的左右兩個頂點，一條動弦垂直于x軸，且與雙曲線交于P，Q（P點位于x軸的上方），直線A1P與直線A₂Q相交于點M，
（1）求出動點M（2）的軌跡方程
（2）設點N（﹣2，0），過點N的直線交于M點的軌跡上半部分A，B兩點，且滿足，其中，求出直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設P（x₀，y₀），Q（x₀，﹣y₀），
直線A₁P的方程為：，（1）
直線A₂Q的方程為：，（2）
將（1）×（2）得到：，又因為．
所以得到M的軌跡方程為：，（y≠0）
（2），∴A，B，N三點共線，而點N的坐標為（﹣2，0）．
設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由消去x得，
即
根據條件可知解得
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則根據韋達定理，得
又由得（x₁+2，y₁）=λ（x2+2，y2）
從而
消去y₂得
令
則
由于
所以φ（λ）是區間上的減函數，
從而，
即，，
∴
解得
而，
∴
因此直線AB的斜率的取值范圍是。