Question

已知A₁，A₂為雙曲線C：

x2

2

-y2=1的左右兩個頂點，一條動弦垂直于x軸，且與雙曲線交于P，Q（P點位于x軸的上方），直線A₁P與直線A₂Q相交于點M，
（1）求出動點M（2）的軌跡方程
（2）設點N（-2，0），過點N的直線交于M點的軌跡上半部分A，B兩點，且滿足

NA

=λ

NB

，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]，求出直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），從而可得直線A₁P的方程為：

y

y0

=

x+ 2

x0+ 2

直線A₂Q的方程為：

y

-y0

=

x- 2

x0- 2

由兩式得到：

y2

-y02

=

x2-2

x02-2

，結合

x02

2

-y02=1，可得M的軌跡方程
（2）

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三點共線，及點N的坐標為（-2，0）．可設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．，聯立方程

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2 y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0
根據條件可知

k≠0 (  4 k ) 2-8• 2k2+1 k2 ＜0

及

y1+ y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1

，又由

NA

=λ

NB

，建立坐標之間的關系，結合函數的單調性進行求解即可

解答：解：（1）設P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)
直線A₁P的方程為：

y

y0

=

x+ 2

x0+ 2

，（1）
直線A₂Q的方程為：

y

-y0

=

x- 2

x0- 2

，（2）
將（1）×（2）得到：

y2

-y02

=

x2-2

x02-2

，又因為

x02

2

-y02=1．
所以得到M的軌跡方程為：

x2

2

+y2=1，（y≠0）
（2）

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三點共線，而點N的坐標為（-2，0）．
設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2 y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0
根據條件可知

k≠0 (  4 k ) 2-8• 2k2+1 k2 ＜0

解得0＜|k|＜

2

2

（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據韋達定理，得

y1+ y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1

又由

NA

=λ

NB

得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2

從而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

消去
令∅(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]則∅′(λ)=1- 

1

λ2

 =

λ2-1

λ2

由于

1

5

≤λ≤

1

3

所以∅（λ）是區間[

1

5

，

1

3

]上的減函數，
從而∅(

1

3

)≤∅(λ)≤∅(

1

5

)，即

16

3

≤∅(λ)≤

36

5

，

16

3

≤

8

2k2+1

≤  

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

解得

2

6

≤|k|≤

1

2

而0＜k＜

2

2

，∴

2

6

≤k≤

1

2

因此直線AB的斜率的取值范圍是[

2

6

，

1

2

]

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解橢圓的方程，及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合考查，要求考生具備一定的綜合能力及推理運算的能力，綜合性比較強．