Question

已知A₁，A₂為雙曲線C：的左右兩個頂點，一條動弦垂直于x軸，且與雙曲線交于P，Q（P點位于x軸的上方），直線A₁P與直線A₂Q相交于點M，
（1）求出動點M（2）的軌跡方程
（2）設點N（-2，0），過點N的直線交于M點的軌跡上半部分A，B兩點，且滿足，其中，求出直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），Q（x，-y），從而可得直線A₁P的方程為：直線A₂Q的方程為：由兩式得到：，結合，可得M的軌跡方程
（2），∴A，B，N三點共線，及點N的坐標為（-2，0）．可設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．，聯立方程消去x得，即
根據條件可知及，又由，建立坐標之間的關系，結合函數的單調性進行求解即可
解答：解：（1）設P（x，y），Q（x，-y），
直線A₁P的方程為：，（1）
直線A₂Q的方程為：，（2）
將（1）×（2）得到：，又因為．
所以得到M的軌跡方程為：，（y≠0）
（2），∴A，B，N三點共線，而點N的坐標為（-2，0）．
設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由消去x得，即
根據條件可知解得（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據韋達定理，得
又由得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
從而消去y₂得消去
令則
由于所以∅（λ）是區間上的減函數，
從而，即，
，∴解得
而，∴
因此直線AB的斜率的取值范圍是
點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解橢圓的方程，及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合考查，要求考生具備一定的綜合能力及推理運算的能力，綜合性比較強．