Question

設二次函數在[－1，4]上的最大值為12，且關于x的不等式的解集為（0，5）．

（1）求的解析式；

（2）若對任意的實數x都有恒成立，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動，不論哪種類型，解題的關鍵是對稱軸與區間的關系，當含有參數時，要依據對稱軸與區間的關系進行分類討論；（2）二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個”二次，它們常結合在一起，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點值符合四個方面分析；（3）二次函數的綜合問題應用多涉及單調性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價轉化，多用到數形結合思想與分類討論思想

試題解析：解：（1）依題意可設二次函數的解析式為f（x）=ax（x-5）且a>0，則

∴f（x）=ax（x-5）=a（x-2．5）2-6．25a

又∵f（x）在[-1,4]上的最大值為12

∴6a=12 ? a=2

∴

（2）解法一：設t=1-，則0≤t≤2

∴f（2-2cosx）<f（1--m）

?2·2t·（2t-5）<2·（t-m）·（t-m-5）

?（3t-m-5）（t+m）<0

∴實數m的取值范圍為

解法二：因為f（x）的對稱軸為且其圖象開口向上

所以f（2-2cosx）<f（1--m）等價于

|2-2cosx-|<|1--m-| 即|2cosx+|<|+m+|

令即|2t-|<|t+m|

∴實數m的取值范圍為 ．

考點：（1）求二次函數的解析式；（2）恒成立的問題