Question

已知a∈R，f(x)=

x+1

-

2x

，g（x）=alnx
（1）當a=1時，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函數(shù)t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導，令f′（x）＞0求出函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0求出函數(shù)的減區(qū)間；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，和f（0）、f（1）比較大小，確定函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）當a=1時，h（x）=f（x）+g（x）=

x+1

-

2x

+lnx
函數(shù)的定義域為（0，+∞），
h′（x）=

1

2 x+1

- 

1

2x

 +

1

x

＞0
∴h（x）在（0，1]單調(diào)遞增，
故函數(shù)h（x）_max=h（1）=0
（2）t′(x)=

1

2 x+1

-

1

2x

+

a

x

（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函數(shù)．
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即

1

2 x+1

-

1

2x

+

a

x

≥0在（0，1]上恒成立．
a≥

x

2x

-

x

2 x+1

在（0，1]上恒成立．
令h（x）=

x

2x

-

x

2 x+1

則原問題等價于求h（x）在（0，1]上的最大值．
h′(x)=

2x

4x

-

x+2

4(x+1) x+1

(x＞0)
現(xiàn)只要比較

2x

4x

與

x+2

4(x+1) x+1

大小，即可判斷h'（x）的符號．
事實上

2x

4x

＞

x+2

4(x+1) x+1

（

2(x+1)3＞x(x+2)2 x3+2x2+2x+2＞0

在x＞0時恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函數(shù)．
∴h（x）在（0，1]上的最大值為h(1)=

2

4

∴a≥

2

4

．

點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬難題．