Question

（2010•寶山區模擬）已知a∈R，f(x)=

a×2x+a-2

2x+1

，(x∈R)
（1）確定a的值，使f（x）為奇函數．
（2）在（1）的條件下，試問K為何值時方程f^-1（x）=log₂^K有正根？

Answer 1

分析：（1）根據 f（0）=

2a-2

2

=0，求得 a的值．
（2）在（1）的條件下，f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，求得 f^-1（x）=

log

1+x 1-x 2

，由題意知方程

1+x

1-x

=k  在k＞0時 有正根，故有k＞0 且 x=

k-1

k+1

＞0，解得 k 的值．

解答：解：（1）若f（x）為奇函數時，則應有 f（0）=

2a-2

2

=0，∴a=1．
故當a=1時，f（x）為奇函數．
（2）在（1）的條件下，f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴2^x=

2

1-f(x)

-1，x=

log	[ 2 1-f(x) -1] 2

，∴f^-1（x）=

log

1+x 1-x 2

．
方程f^-1（x）=log₂^K有正根，即．
∴k＞0 且 x=

k-1

k+1

＞0，解得 k＞1．
故當k＞1 時，方程f^-1（x）=log₂^K有正根．

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷，求反函數，體現了轉化的數學思想，得到 k＞0 且 x=

k-1

k+1

＞0，是解題的
關鍵．