Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．
（III）設平面PBC和平面PAD的交線為直線l，試判定直線l與平面ABCD的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA=1，PD=

2

，所以PD²=PA²+AD²，所以PA⊥AD，由此能夠證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）四棱錐P-ABCD的底面積為1，因為PA⊥平面ABCD，所以四棱錐P-ABCD的高為1，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（III）l∥平面ABCD．理由為：BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD，由此能夠得到BC?平面l∥平面ABCD．

解答：（本題滿分14分）
（Ⅰ）證明：因為四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA=1，PD=

2

所以PD²=PA²+AD²，
所以PA⊥AD，（3分）
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
所以PA⊥平面ABCD．（6分）
（Ⅱ）四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因為PA⊥平面ABCD，
所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

．（10分）
（ III）l∥平面ABCD．（11分）
∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，（12分）
又∵BC?平面PBC且平面PBC∩平面PAD=l
由線面平行的性質定理得：BC∥l，（13分）
又∵BC?平面ABCD，l?平面ABCD，
∴l∥平面ABCD．（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四棱錐體積的計算，判斷直線與平面的位置關系．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．