Question

如圖，一條河的兩岸是平行線，兩岸邊各有一個小鎮A與B，它們的直線距離為2km，河寬AC=1km，根據規劃，需要在兩岸間鋪設一條電纜線，從A處鋪設水下電纜到D處（D為線段BC上的點），再從D處鋪設地下電纜到B處，已知鋪設水下電纜的費用是鋪設地下電纜費用的2倍，記∠ADC=θ．
（1）設鋪設地下電纜的費用是a元/km，試將該項目工程的總費用y表示成θ的函數；
（2）當θ為何值時，工程的總費用y最低？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意把|AD|，|DB|用含有θ的代數式表示，然后結合造價得到項目工程的總費用y與θ的函數關系；
（2）把（1）中的函數求導，求出函數的極小值，即函數的最小值得答案．

解答： 解：（1）如圖，由題意可知，

π

6

≤θ≤

π

2

，
∵|AC|=1，|AB|=2，
∴|CB|=

3

，
|CD|=cotθ，|AD|=

1+cot2θ

=cscθ，|BD|=

3

-cotθ，
∵鋪設地下電纜的費用是a元/km，
則鋪設水下電纜的費用是2a元/km，
∴y=2acscθ+a（

3

-cotθ）=a(

2

sinθ

-

cosθ

sinθ

+

3

)，

π

6

≤θ≤

π

2

，
（2）由y=a(

2

sinθ

-

cosθ

sinθ

+

3

)，

π

6

≤θ≤

π

2

，
得y′=a(

-2cosθ

sin2θ

-

-sin2θ-cos2θ

sin2θ

)=

a(1-2cosθ)

sin2θ

，
由y′=0，得1-2cosθ=0，
∴cosθ=

1

2

，θ=

π

3

．
當

π

6

＜θ＜

π

3

時，y′0，
∴當θ=

π

3

時y有最小值，即工程的總費用最低．

點評：本題是應用題，考查了簡單的數學建模思想方法，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．