Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，直線L：x+2y-10=0．
（1）橢圓上是否存在點M，它到直線L的距離最小？若存在，則求出M點坐標和最小距離．
（2）橢圓上是否存在點P，它到直線L的距離最大？若存在，則求出P點坐標和最大距離．

Answer 1

分析 （1）（2）設與直線L平行且與橢圓相切的直線方程為：x+2y+m=0．與橢圓方程聯立：化為：25x²+18mx+9m²-144=0，利用△=0，解得：m，即可得出結論．

解答 解：（1）設與直線L平行且與橢圓相切的直線方程為：x+2y+m=0．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：25x²+18mx+9m²-144=0，（*）
△=（18m）²-100（9m²-144）=0，解得：m=±5．
取m=-5時，25x²-90x+81=0，解得x=$\frac{9}{5}$，∴y=$\frac{8}{5}$．
∴M$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$，
橢圓上存在點M$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$，它到直線L的距離最小，最小距離=$\frac{-5+10}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
（2）由（1）可得：取m=5時，25x²+90x+81=0，解得x=-$\frac{9}{5}$，∴y=-$\frac{8}{5}$．
∴P$（-\frac{9}{5}，-\frac{8}{5}）$，
橢圓上存在點P$（-\frac{9}{5}，-\frac{8}{5}）$，它到直線L的距離最大，最大距離=$\frac{|5+10|}{\sqrt{5}}$=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了直線與橢圓的相切與一元二次方程的根與系數的關系、平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．