Question

9．曲線C：y=$\frac{1}{8}$x²的焦點為F，定點A（-1，0），若射線FA與拋物線C交于點M，與拋物線C的準線交于點N，則|MN|：|FN|的值是（　　）

• A． $\sqrt{5}$：（2+$\sqrt{5}$）
• B． 2：（2+$\sqrt{5}$）
• C． 1：（1+$\sqrt{5}$）
• D． $\sqrt{5}$：（1+$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 由x²=8y的焦點為F（0，2），點A坐標為A（-1，0），直線AF的斜率為k=2，過M作MP⊥l于P，根據拋物線物定義得：|FM|=|PM|，$\frac{丨MP丨}{丨NP丨}$=2，可得|MP|=2|NP|，由勾股定理可知：|MN|=$\sqrt{丨MP{丨}^{2}+丨NP{丨}^{2}}$=$\sqrt{5}$|NP|，|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|MP|=（2+$\sqrt{5}$）|NP|，即可求得|MN|：|FN|的值．

解答 解：∵拋物線C：x²=8y的焦點為F（0，2），點A坐標為A（-1，0），
∴拋物線的準線方程為l：y=-2，直線AF的斜率為k=2，
過M作MP⊥l于P，根據拋物線物定義得：|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠MNP=k=2，
∴$\frac{丨MP丨}{丨NP丨}$=2，可得|MP|=2|NP|，
則|MN|=$\sqrt{丨MP{丨}^{2}+丨NP{丨}^{2}}$=$\sqrt{5}$|NP|，
而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|MP|=（2+$\sqrt{5}$）|NP|，
∴|MN|：|FN|=$\sqrt{5}$：（2+$\sqrt{5}$），
故選A．

點評 本題考查拋物線的性質，直線的斜率公式，勾股定理，考查計算能力，屬于中檔題．