Question

以斜邊為4cm，一個內角為60°的直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉一周，所得幾何體的表面積是（　　）cm²．

• A、8π
• B、(6+2

  3

  )π
• C、(9+2

  3

  )π
• D、(10+2

  5

  )π

Answer 1

分析：根據題意，所得幾何體是以直角三角形的斜邊上的高為底面半徑、兩條直角邊分別為母線的兩個圓錐的組合體．由此利用解直角三角形的知識和圓錐的側面積公式加以計算，可得該幾何體的表面積．

解答：解：設Rt△ABC中，斜邊AB=4cm，∠B=60°，
可得BC=ABcos60°=2cm，AC=ABsin60°=2

3

cm，
作CD⊥AB于D，則
∵Rt△ABC的面積S=

1

2

AC×BC=

1

2

AB×CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

2×2 3

4

=

3

cm，
以AB為軸旋轉一周，得到有公共底面圓的兩個圓錐側面圍成的幾何體，
該圓錐的底面半徑為CD，上下兩個圓錐的母線分別為AC、BC，
∴該幾何體的表面積為
S=π•CD•AC+π•CD•BC=π（AC+BC）•CD=π（2+2

3

）•

3

=（6+2

3

）cm²．
故選：B

點評：本題將直角三角形圍繞斜邊旋轉一周，求圍成的幾何體的表面積．著重考查了解直角三角形、圓錐的側面積公式等知識，屬于中檔題．