Question

【題目】定義區間的長度均為,其中

(1)若函數的定義域為值域為寫出區間長度的最大值；

(2)若關于的不等式組的解集構成的各區間長度和為6,求實數的取值范圍；

(3)已知求證:關于的不等式的解集構成的各區間的長度和為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定值為，證明見解析.

【解析】

（1）令求得函數的零點，令，求得定義域區間長度最大時的值.

（2）先求得不等式的解集，設不等式的解集為，根據的長度為列不等式組，由此求得的取值范圍.

（3）將原不等式轉化為分式不等式的形式，結合高次不等式的解法，求得不等式的解集，進而求得不等式解集構成的各區間的長度和為定值.

（1）令，解得，此時為函數的最小值.令，解得，.故定義域區間長度最大時，故區間的長度為.

（2）由得，解得，記.設不等式的解集為，不等式組的解集為.

設不等式等價于，所以，，由于不等式組的解集的個區間長度和為，所以不等式組，當是恒成立.

當時，不等式恒成立，得.

當時，不等式恒成立，分離常數得恒成立. 當時，為單調遞增函數，所以，所以，所以實數.

（3）原不等式可化為

①.

令，其判別式，所以有兩個不相等的實數根，設，則，根據求根公式可求得.而，.

i)當時，不等式①等價于，解得，即不等式①的解集為，區間長度為.

ii)當時，不妨設，則，，所以.此時不等式①即，解得或，即不等式①的解集為，區間的長度為.

綜上所述，關于的不等式的解集構成的各區間的長度和為定值.