Question

【題目】在四棱錐P—ABCD中，PAB為正三角形，四邊形ABCD為炬形，平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD，M，N分別為PB，PC中點.

（1）求證:MN//平面PAD;

（2）求二面角B—AM—C的大小；

（3）在BC上是否存在點E，使得EN⊥平面AMV?若存在，求的值:若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°（3）存在，

【解析】

(1)欲證//平面,則證明MN∥AD即可.

(2)取中點再建立空間直角坐標系,求得與的法向量再求解即可.
(3)設再根據(jù)平面，列出對應的向量，利用數(shù)量積為0，求出再計算即可.

證明：(1)∵M,N分別是PB,PC中點

∴MN是△ABC的中位線

∴MN∥BC∥AD

又∵AD平面PAD,MN平面PAD

所以MN∥平面PAD．

解：(2)過點P作PO垂直于AB,交AB于點O,

因為平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,

如圖建立空間直角坐標系,

設AB＝2,則A(﹣1,0,0),C(1,1,0),

M(,0,),

B(1,0,0),N(),

則

設平面CAM法向量為,

由,得,

令x1＝1,則,即

平面ABM法向量

所以,二面角B﹣AM﹣C的余弦值

因為二面角B﹣AM﹣C是銳二面角,

所以二面角B﹣AM﹣C等于45°

(3)存在點E,使得EN⊥平面AMN

設E(1,λ,0),則,

由可得,

所以在BC存在點E,使得EN⊥平面AMN,

此時．