Question

【題目】已知函數f（x）＝x|x﹣a|+2x（a∈R）．

（1）若函數f（x）在R上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（2）若存在實數a∈[﹣4，4]使得關于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0恰有三個不相等的實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）﹣2≤a≤2；（2）（1，）．

【解析】

（1）把函數化為分段函數的形式，根據分段函數的單調性可得，解不等式組即可.

（2）由（1）當﹣2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，則關于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0不可能有三個不等的實數根；

當a∈（2，4]時，討論的單調性，當方程f（x）＝tf（a）＝2ta有三個不相等的實根，則2ta∈（2a，），令g（a），使即可，同理再求當a∈[﹣4，﹣2）時即可.

（1）f（x）＝x|x﹣a|+2x，

由f（x）在R上是增函數，則，即﹣2≤a≤2，則a范圍為﹣2≤a≤2；

（2）當﹣2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，則關于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0不可能有三個不等的實數根；

則當a∈（2，4]時，由f（x），

得x≥a時，f（x）＝x2+（2﹣a）x對稱軸x，

則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）＝[2a，+∞），

x＜a時，f（x）＝﹣x2+（2+a）x對稱軸x，

則f（x）在x∈（﹣∞，]為增函數，此時f（x）的值域為（﹣∞，]，

f（x）在x∈[，+∞）為減函數，此時f（x）的值域為（2a，]；

由存在a∈（2，4]，方程f（x）＝tf（a）＝2ta有三個不相等的實根，則2ta∈（2a，），

即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，）即可，

令g（a），

只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數，

g（a）max＝g（4），

故實數t的取值范圍為（1，）；

當a∈[﹣4，﹣2）時，由 ，

則f（x）在單調遞增，值域為；

在單調遞減，值域為；

在單調遞增，值域為

由存在a∈[﹣4，﹣2），方程f（x）＝tf（a）＝2ta有三個不相等的實根，

則，即

令，只要使即可，

而在a∈[﹣4，﹣2）單調遞減，

所以t的取值范圍為（1，）；

綜上所述，實數t的取值范圍為（1，）．