Question

【題目】對于定義域為D的函數，如果存在區間，同時滿足：①在內是單調函數；②當定義域是時，的值域也是，則稱是該函數的“優美區間”.

（1）求證：是函數的一個“優美區間”.

（2）求證：函數不存在“優美區間”.

（3）已知函數（）有“優美區間”，當a變化時，求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）結合“優美區間”的定義,可證明結論;

（2）若函數存在“優美區間”,可得函數在上單調遞減,從而可得,聯立可推出矛盾,即可證明結論;

（3）函數有“優美區間”,結合單調性可得,聯立可求得的關系,進而可求得的最大值.

（1）在區間上單調遞增,

又,,∴的值域為,

∴區間是的一個“優美區間”.

（2）設是已知函數的定義域的子集.

由,可得或,

∴函數在上單調遞減.

若是已知函數的“優美區間”,則,

兩式相減得,,則,

,

則,顯然等式不成立,

∴函數不存在“優美區間”.

（3）設是已知函數定義域的子集.

由,則或,

而函數在上單調遞增.

若是已知函數的“優美區間”,則,

∴是方程，即的兩個同號且不等的實數根.

,∴同號,只須,

解得或,

,

∴當時,取得最大值.