Question

（2012•奉賢區(qū)一模）將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，另一個(gè)頂點(diǎn)（2p，0），這樣的正三角形有（　　）

A．0個(gè)

B．2個(gè)

C．4個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)題意和拋物線以及正三角形的對(duì)稱性，可推斷出兩個(gè)邊的斜率，進(jìn)而表示出這兩條直線，每條直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，可知當(dāng)?shù)冗吶�角形關(guān)于x軸軸對(duì)稱時(shí)，有兩個(gè)．

解答：解：y²=2px（P＞0）
等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于（2p，0），另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，
則當(dāng)?shù)冗吶�角形關(guān)于x軸軸對(duì)稱時(shí)
兩個(gè)邊的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程為：y=±

3

3

（x-2p），
每條直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，這樣的正三角形有2個(gè)，圖中黑色的兩個(gè)．
兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在拋物線上方如圖中藍(lán)色，或同時(shí)在下方各一個(gè)如圖中綠色，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想，主要是利用拋物線和正三角形的對(duì)稱性．