Question

己知函數f(x)=e^x，xR.
(1)若直線y=kx+1與f(x)的反函數圖象相切，求實數k的值；
(2)設x﹥0，討論曲線y=f(x)與曲線y=mx²(m﹥0)公共點的個數；
(3)設，比較與的大小并說明理由。

Answer 1

(1)；(2)當m時,有0個公共點;當m=,有1個公共點;當m有2個公共點；(3).

試題分析：(1)f (x)的反函數. 直線y=kx+1恒過點P（0，1），該題即為過某點與曲線相切的問題，這類題一定要先設出切點的坐標，然后求導便可得方程組，解方程組即可得k的值.
(2)曲線y=f(x)與曲線 的公共點個數即方程 根的個數. 而這個方程可化為
，令，結合的圖象即可知道取不同值時，方程的根的個數.
(3) 比較兩個式子的大小的一般方法是用比較法，即作差，變形，判斷符號.
 
 
結合這個式子的特征可看出，我們可研究函數的函數值的符號，而用導數即可解決.
試題解析：(1)f(x)的反函數.設直線y=kx+1與相切于點，則.所以                      4分
(2)當x>0,m>0時,曲線y=f(x)與曲線的公共點個數即方程根的個數. 5分
由，令，
則 在上單調遞減，這時； 在上單調遞增，這時；所以是的最小值.     6分
所以對曲線y=f(x)與曲線公共點的個數,討論如下:
當m時,有0個公共點;
當m=,有1個公共點;
當m有2個公共點;                  8分
(3)設 
          9分
令，則，
的導函數，所以在上單調遞增，且，因此，在上單調遞增，而，所以在上.  12分
當時，且即，
 
所以當時，                    14分