Question

8．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，且經過點（2，3）．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程和其漸近線方程；
（Ⅱ）設直線l經過點（0，-1），且斜率為k．求直線l與雙曲線C有兩個公共點時k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：求出雙曲線的焦點坐標，利用雙曲線定義求出a，然后求雙曲線C的方程，漸近線方程．
法二：利用已知條件列出方程組，求出a，b，然后求雙曲線C的方程，漸近線方程．
（Ⅱ）聯立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ 3{x^2}-{y^2}=3\end{array}\right.$利用△＞0，求出-2＜k＜2，結合漸近線求解k的范圍即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）法一：由已知，雙曲線的焦點為（-2，0）和（2，0）…（1分）
據定義有：$2a=|\sqrt{{{（2+2）}^2}+{{（3-0）}^2}}-\sqrt{{{（2-2）}^2}+{{（3-0）}^2}}|=2⇒a=1$…（2分）
故a²=1，c²=4，b²=3，從而所求雙曲線C的方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
其漸近線方程為：$y=±\sqrt{3}x$…（6分）
法二：由$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1\\{a^2}+{b^2}=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=1\\{b^2}=3\end{array}\right.$，故所求雙曲線C的方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
其漸近線方程為：$y=±\sqrt{3}x$…（6分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ 3{x^2}-{y^2}=3\end{array}\right.$得：（3-k²）x²+2kx-4=0…（8分）
當3-k²≠0，即$k≠±\sqrt{3}$時，…（9分）
若△＞0，即△=4k²-4（-4）（3-k²）=12（4-k²）＞0⇒4-k²＞0⇒-2＜k＜2時，
直線與雙曲線相交，有兩個公共點；…（11分）
所以，當-2＜k＜2，且$k≠±\sqrt{3}$時，直線與雙曲線有兩個公共點．…（12分）

點評 本題考查雙曲線的簡單性質以及雙曲線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．