Question

已知函數（其中且），是的反函數.

（1）已知關于的方程在區間上有實數解，求實數的取值范圍；

（2）當時，討論函數的奇偶性和增減性；

（3）設，其中.記，數列的前項的和為（），

求證：.

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)奇函數，減函數；(3)證明見解析．

【解析】

試題分析：(1)這是一個對數方程，首先要轉化為代數方程，根據對數的性質有，從而有，方程在上有解，就變為求函數在上的值域，轉化時注意對數的真數為正；(2)奇偶性和單調性我們都根據定義加以解決；(3)，

，要證明不等式成立，最好是能把和求出來，但看其通項公式，這個和是不可能求出的，由于我們只要證明不等式，那么我們能不能把放縮后可求和呢？，顯然，即，左邊易證，又由二項式定理

，在時，，所以，注意到，至此不等式的右邊可以求和了，

，得證．

試題解析：（1）轉化為求函數在上的值域，

該函數在上遞增、在上遞減，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范圍為。          4分

（2）的定義域為，          5分

定義域關于原點對稱，又， ，所以函數為奇函數。          6分

下面討論在上函數的增減性.

任取、，設，令，則，，所以

因為，，，所以.         7分

又當時，是減函數，所以.由定義知在上函數是減函數.          8分

又因為函數是奇函數，所以在上函數也是減函數.         9分

（3） ；         10分

因為，，所以，。   11分

 設，時，則 ，    12分

且，    13分

 由二項式定理，         14分

所以，

從而。         18分

考點：(1)方程有解與函數的值域；(2)函數奇偶性與單調性；(3)放縮法證明不等式．