Question

4．為了研究學生喜愛打籃球是否與性別有關，某興趣小組對本班48名同學進行了問卷調查，得到了如下列聯表：

	喜愛打籃球	不喜愛打籃球	合計
男生	22	6	28
女生	10	10	20
合計	32	16	48

（Ⅰ）判斷是否有95%的把握認為喜愛籃球與性別有關？請說明理由；
（Ⅱ）若從女同學中抽取2人進一步調查，設其中喜愛打籃球的女同學人數為X，求X的分布列與期望．
附：K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²≈4.286＞3.841，從而有95%的把握認為喜愛打籃球別有關；
（Ⅱ）喜愛打籃球的女生人數X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（Ⅰ）由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{{48×{{（22×10-10×6）}^2}}}{32×16×28×20}≈4.286$
因為4.286＞3.841，所以有95%的把握認為喜愛打籃球別有關
（Ⅱ）喜愛打籃球的女生人數X的可能取值為0，1，2，
則$P（X=0）=\frac{{C_{10}^0C_{10}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{9}{38}$，
$P（X=1）=\frac{{C_{10}^1C_{10}^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{10}{19}$，
$P（X=2）=\frac{{C_{10}^2C_{10}^0}}{{C_{20}^2}}=\frac{9}{38}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{9}{38}$	$\frac{10}{19}$	$\frac{9}{38}$

所以$E（X）=0×\frac{9}{38}+1×\frac{10}{19}+2×\frac{9}{38}$=1．

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、排列組合等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．