Question

函數f(x)=

2x

x2+1

的定義域為[-

1

2

，

1

2

]．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）設函數g(x)=x3-3ax+

7

8

(-

1

2

≤x≤

1

2

，且a≥

1

4

)．若對于任意x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，總存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，根據函數的定義域，可知導數大于0，從而函數在定義域內為增函數，所以可求函數的值域；（2）對函數g（x）求導，得 g′（x）=3（x²-a），根據a≥

1

4

，x∈[-

1

2

，

1

2

]，可知g′（x）≤0，所以當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，g（x）為減函數，從而可求函數g（x）的值域；任給x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]，要使存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]使得g（x₂）=f（x₁），則函數f（x）的值域是函數g（x）的值域的子集，從而可得結論．

解答：解：（1）求導函數，f′(x)=

2(1+x)(1-x)

(x2+1)2

，∵定義域為[-

1

2

，

1

2

]，∴f′（x）＞0
∴函數在定義域內為增函數，所以函數的值域為f(x)∈[f(-

1

2

)，f(

1

2

)]即f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]
（2）對函數g（x）求導，得 g′（x）=3（x²-a）
因此a≥

1

4

，當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，g′（x）≤0，所以當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，g（x）為減函數，
從而當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，有g(x)∈[g(

1

2

)，g(-

1

2

)]
即當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，g(x)∈[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]--------------（8分）
任給x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]，存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]使得g（x₂）=f（x₁），
則[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]?[-

4

5

，

4

5

]-----（10分）
即

1- 3 2 a≤- 4 5 3 4 + 3 2 a≥ 4 5

，結合  a≥

1

4

解得 a≥

6

5

--（12分）

點評：本題以具體函數為載體，考查利用導數確定函數的單調性，考查函數的值域，同時考查存在性問題的求解，其中將函數f（x）的值域是函數g（x）的值域的子集，是解題的關鍵．