Question

試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)=

2x

x-1

在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問(wèn)題．在解答時(shí)，首先要結(jié)合定義域和所給區(qū)間任設(shè)兩個(gè)變量并保證大小關(guān)系，然后通過(guò)作差法即可獲得相應(yīng)變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：證明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2x1

x1-1

-

2x2

x2-1

═

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

由于0＜x₁＜x₂＜1，x₁-1＜0，x₂-1＜0，x₂-x₁＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)f(x)=

2x

x-1

在（0，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法以及分解因式等知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．