Question

設f(n)=(

1+i

1-i

)n+(

1-i

1+i

)n(n∈Z)，則f（2008）的值為

2

．

Answer 1

分析：先利用兩個復數代數形式的混合運算化簡

1+i

1-i

 和

1-i

1+i

，可得f（n）═iⁿ+（-i）ⁿ，而 i²⁰⁰⁸=i^4×502 
=1，可得f（2008）的值．

解答：解：∵

1+i

1-i

=

(1+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=i，

1-i

1+i

=

(1-i)(1-i)

(1+i)(1-i)

=-i．
∴f(n)=(

1+i

1-i

)n+(

1-i

1+i

)n=iⁿ+（-i）ⁿ，
而 i²⁰⁰⁸=i^4×502=1，∴f（2008）=i²⁰⁰⁸+（-i）²⁰⁰⁸=1+1=2，
故答案為：2．

點評：本題主要考查兩個復數代數形式的混合運算，虛數單位i的冪運算性質，屬于基礎題．