Question

已知數列{a_n}的前n項為和S_n，點(n，

Sn

n

)在直線y=

1

2

x+

11

2

上．數列{b_n}滿足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)，且b₃=11，前9項和為153．
（I）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）設f(n)=

an(n=2l-1，l∈N*) bn(n=2l，l∈N*)

，問是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件得Sn=

1

2

n2+

11

2

n，根據前n項和與第n項的關系求出當n≥2時的通項公式，再由a₁=S_l=6，求得數列{a_n}的通項公式．利用等差中項證明{b_n}為等差數列，求出公差和第三項，從而求得{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）分m為奇數和m為偶數，分別利用條件f（m+15）=5f（m）求出m的值，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即Sn=

1

2

n2+

11

2

n．…（1分）
故當n≥2時，an=Sn-sn-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．…（3分）
當n=1時，a₁=S_l=6，所以，a_n=n+5（n∈N^*）．    …（4分）
又b_n+1-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+l=b_n+1-b_n（n∈N^*），所以{b_n}為等差數列，…（5分）
于是

9(b3+b7)

2

=153．而b₃=11，故b7=23，d=

23-11

7-3

．…（7分）
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．    …（8分）
（Ⅱ）f(n)=

n+5    (n=2l-1，l∈N*) 3n+2    (n=2l，l∈N*)

…（9分）
①當m為奇數時，m+15為偶數．
此時f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．    …（1分）
②當m為偶數時，m+15為奇數，
此時f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以m+20=15m+10，m=

5

7

∉N*（舍去）．    …（13分）
綜上，存在唯一正整數m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．    …（14分）

點評：本題主要考查數列的函數特性，等差數列的通項公式的應用，現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．