Question

9．已知f（x）=x²e^x（e為自然對數的底），若存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=m在m∈[t-2，t]上恒成立，則實數t的取值范圍是（　　）

• A． [1，e]
• B． （1+$\frac{1}{e}$，e]
• C． （2，e]
• D． （2+$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 根據導數求出函數的最值，再根據存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=m在m∈[t-2，t]上恒成立，得到$\frac{1}{e}$＜f（x₀）≤e，即$\frac{1}{e}$＜m≤e，得到關于t的不等式組，解得即可．

解答 解：函數f（x）=x²e^x的導數為f′（x）=2xe^x+x²e^x =xe^x（x+2），x∈[-1，1]，
令f′（x）=0，則x=0，
當f′（x）＞0時，即0＜x≤1，當f′（x）＜0時，即-1≤x＜0，
∴f（x）在（-1，0）單調遞減，在（0，1]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（1）=e，
∴f（x）_max=f（1）=e，
∵存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=m在m∈[t-2，t]上恒成立，
∴$\frac{1}{e}$＜f（x₀）≤e，
∴$\frac{1}{e}$＜m≤e，
∵m∈[t-2，t]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t-2＞\frac{1}{e}}\\{t≤e}\end{array}\right.$，
解得2+$\frac{1}{e}$＜t≤e，
故選：D

點評 本題考查了導數函數的最值問題，以及參數的取值范圍，考查了存在性和恒成立的問題，屬于中檔題．