Question

已知橢圓的左、右兩個焦點為F₁、F₂，離心率為，又拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）與橢圓C₁有公共焦點F₂（1，0）．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設直線l經過橢圓的左焦點F₁且與拋物線交于不同兩點P、Q，且滿足，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在橢圓中，c=1，，所以，故橢圓方程為
拋物線中，，所以p=2，故拋物線方程為y²=4x
（2）設直線l的方程為y=k（x+1）和拋物線方程聯立，得
消去y，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因為直線和拋物線有兩個交點，所以k≠0，（2k²-4）²-4k⁴＞0．
解得-1＜k＜1且k≠0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，x₁x₂=1

又，所以
又y²=4x，由此得4x₁=λ²4x₂，即x₁=λ²x₂．
由x₁x₂=1，解得x₁=λ，x₂=
又，所以．
又因為0＜k²＜1，所以，
解得λ＞0且λ≠1

分析：（1）根據橢圓的性質，確定幾何量，從而可求橢圓的方程，利用拋物線的焦點坐標，可得拋物線方程；
（2）直線l的方程和拋物線方程聯立，利用直線和拋物線有兩個交點，確定k的范圍，利用向量知識，確定坐標之間的關系，由k的范圍，可得實數λ的取值范圍．
點評：本題考查橢圓與拋物線的方程，考查直線和拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．