Question

（14分）已知橢圓的左、右兩個頂點分別為、．曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線．設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點．

（1）求曲線的方程；

（2）設點、的橫坐標分別為、，證明：；

（3）設與（其中為坐標原點）的面積分別為與，且，求 的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）聯立方程組，

整理，得，解得或．所以．同理可得，，所以．   （3）。

【解析】

試題分析：依題意可得，．…………………1分

設雙曲線的方程為，

因為雙曲線的離心率為，所以，即．

所以雙曲線的方程為．…………………3分

（2）證法1：設點、（，，），直線的斜率為（），

則直線的方程為，…………………4分

聯立方程組………………………5分

整理，得，

解得或．所以．…………………6分

同理可得，…………………………7分

所以．…………………………8分

證法2：設點、（，，），

則，．………………………………4分

因為，所以，即．………………5分

因為點和點分別在雙曲線和橢圓上，所以，．

即，．………………6分

所以，即．………………7分

所以．…………………………………8分

證法3：設點，直線的方程為，……………4分

聯立方程組………………………5分

整理，得，

解得或．………………………6分

將代入，得，即．

所以．……………………………8分

（3）解：設點、（，，），

則，．

因為，所以，即．………9分

因為點在雙曲線上，則，所以，即．

因為點是雙曲線在第一象限內的一點，所以．…………10分

因為，，

所以．………11分

由（2）知，，即．

設，則，

．

設，則，

當時，，當時，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．

因為，，

所以當，即時，…………12分

當，即時，．…………………………13分

所以的取值范圍為．…………………………………14分

說明：由，得，給1分．

考點：橢圓的簡單性質；雙曲線的簡單性質。

點評：在圓錐曲線中經常遇到求范圍問題，這類問題在題目中往往沒有給出不等關系，需要我們去尋找。對于解決這類問題通常有兩種方法：①當題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義時，可考慮利用數形結合方法來求解或構造參數滿足的不等式，通過不等式求得參數的范圍；②當題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系時，可先建立目標函數，進而轉化為求解函數的值域。