Question

已知函數f(x)=

3

x

，x∈[3，7]
（1）判斷函數f（x）的單調性，并利用定義法證明；
（2）求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）任取3≤x₁＜x₂≤7，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案；
（2）根據（1）可知函數的單調性，將區間端點的值代入即可求出最大值和最小值．

解答：解：（1）函數f（x）區間[3，7]上單調遞減．
任取x₁，x₂∈[3，7]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

3

x1

-

3

x2

=

3(x2-x1)

x1x2

，
∵3≤x₁＜x₂≤7，∴x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴由單調性的定義知，函數f（x）區間[3，7]上單調遞減．
（2）由（1）知，函數f（x）區間[3，7]上單調遞減，
∴[f（x）]_min=f（7）=

3

7

，[f（x）]_max=f（3）=1．
∴函數f（x）的最大值和最小值分別為1，

3

7

．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷與證明，以及應用單調性求函數的最值，同時還考查了學生的變形，轉化能力，屬中檔題．