Question

ABC—A₁B₁C₁是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側棱CC₁的中點.

(1)求證：AB₁D⊥平面ABB₁A₁；

(2)求點C到平面AB₁D的距離；

(3)求平面AB₁D與平面ABC所成二面角(銳角)的大小.

Answer 1

(1)證明:取AB₁中點M，則=++.?

又=++,

兩式相加可得2=+=+.?

由于2·=(+)·=0,

2·=(+)·(-)=||²-||²=0.

∴DM⊥AA₁,DM⊥AB.

∴DM⊥平面ABB₁A₁，而DM平面AB₁D.

∴平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁.

(2)解析:一方面A₁B⊥DM，另一方面

·=(-)·(+)=||²-||²=0,

∴A₁B⊥AB₁.∴A₁B⊥平面AB₁D.

∴A₁B是平面AB₁D的法向量.

∴C點到平面AB₁D的距離d=||= ==.?

(3)解析:平面C的法向量為，而平面AB₁D的法向量是，設所求二面角為θ(銳角),則

|cos(π-θ)|=||

=||==.?

∴θ=45°.