Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₂⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=BC=1，AA₁=1．
（1）求證：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

分析：（1）取AB₁的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，易證四邊形FGEC是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得CF∥平面AB₁E；
（2）依題意，可證得AC⊥BB₁，進(jìn)而可證AC⊥平面EB₁C，結(jié)合已知，利用VC-AB1E=VA-EB1C即可求得三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

解答：解：（1）證明：取AB₁的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，
∵F、G分別是AB、AB₁中點(diǎn)，
∴FG∥BB₁，F(xiàn)G=

1

2

BB₁，
∵E為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，
∴FG∥EC，F(xiàn)G=EC，
所以四邊形FGEC是平行四邊形         …（4分）
∴CF∥EG，
∵CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．…（6分）
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥面ABC．
又∵AC?平面ABC，
∴AC⊥BB₁，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BB₁∩BC=B．
∴AC⊥平面EB₁C，
∴AC⊥CB₁…（8分）
∴VA-EB1C=

1

3

S△EB1C•AC=

1

3

×（

1

2

×1×1）×1=

1

6

…（10分）
∵AE=EB₁=

2

，AB₁=

6

，
∴S△AB1E=

3

2

，
∵VC-AB1E=VA-EB1C，
∴三棱錐C-AB₁E的高為

3VC-AB1E

S△AB1E

=

3

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的性質(zhì)，考查三棱錐的體積輪換公式的運(yùn)用，考查推理證明與運(yùn)算能力，屬于中檔題．