Question

（2007•淄博三模）如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

，D為棱CC₁的中點．
（I）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求三棱錐A-A₁B₁O的體積；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB₁C₁？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合已知及線面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACC₁A₁，再由BC∥B₁C₁，可得B₁C₁⊥A₁C，解Rt△ABC可得四邊形ACC₁A₁為正方形，再由線面垂直的判定定理得到A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求出三角形A₁OA的面積及棱錐的高B₁C₁，利用等積法，代入棱錐體積公式，可得三棱錐A-A₁B₁O的體積；
（Ⅲ）取BB₁的中點F，連EF，F(xiàn)D，DE，由三角形中位線定理及線面平行的判定定理，可證得：當(dāng)點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁．

解答：證明：（ I）∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴BC⊥CC₁
∵AC∩CC₁=C，AC，CC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁C
∵BC∥B₁C₁，則B₁C₁⊥A₁C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=

3

∵AA1=

3

，
∴四邊形ACC₁A₁為正方形
∴A₁C⊥AC₁
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，B₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁
∴A₁C⊥平面AB₁C₁…（4分）
解（ II）∵S△AOA1=

1

4

×(

3

)2=

3

4

又B₁C₁為三棱錐B₁-A₁AO的高且B₁C₁=1
∴VA-A1B1O=VB1-A1AO=

1

3

×

3

4

×1=

1

4

…(8分)
證明：（ III）當(dāng)點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁
證明如下：
如圖取BB₁的中點F，連EF，F(xiàn)D，DE
∵D，E，F(xiàn)分別為CC₁，AB，BB₁的中點；
∴EF∥AB₁
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁
∴EF∥平面AB₁C₁
同理可證FD∥平面AB₁C₁
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB₁C₁
∵DE?平面EFD
∴DE∥AB₁C₁…．（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間線線垂直，線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，及線面平行的判定定理是解答的關(guān)鍵．