Question

設方程xlnx=2013的解為α，方程xe^x=2013的解為β，則α•β的值為

2013

．

Answer 1

分析：由已知可得α是函數f（x）=lnx的圖象與函數h（x）=

2013

x

的圖象交點的橫坐標，同理β是函數g（x）=e^x的圖象與函數h（x）=

2013

x

的圖象交點的橫坐標，而函數f（x）=lnx與函數g（x）=e^x互為反函數，互為反函數的圖象關于直線y=x對稱，據此可得到答案．

解答：解：由方程xlnx=2013，得lnx=

2013

x

，
∵α為方程xlnx=2013的解，∴α是函數f（x）=lnx的圖象與函數h（x）=

2013

x

的圖象交點的橫坐標，于是兩個函數的交點為P(α，

2013

α

)；
同理β是函數g（x）=e^x的圖象與函數h（x）=

2013

x

的圖象交點的橫坐標，于是兩個函數的交點為Q(β，

2013

β

)；
∵函數f（x）=lnx與函數g（x）=e^x互為反函數，
∴點P與Q關于直線y=x對稱，
∴β=

2013

α

，即αβ=2013．
故答案為2013．

點評：本題考查方程的解，其實質是考查互為反函數的圖象關于直線y=x對稱．