Question

設a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，則a的取值范圍是（　　）

A．（0，1]

B．（0，2]

C．（1，2]

D．（1，3]

Answer 1

分析：由題意構造函數f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且求出0＜x＜a，再求出f′（x）和f″（x），判斷出f″（x）恒大于0，判斷出f′（x）在定義域上的單調性，再求出f′（x）=0對應的x值，再求出f（x）的單調區間，求出函數f（x）的最小值，根據最小值令g（x）=

x

2

lnx，再求出此函數的導數及單調性，判斷出函數值的符號，再由變化趨勢求出a的范圍．

解答：解：由題意設f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且0＜x＜a，
則原題可轉化為f（x）=0在（0，a）有解，求a的范圍，
∴f′（x）=1+lnx-1-ln（a-x）=lnx-ln（a-x）
則f″（x）=

1

x

-

1

x-a

=

-a

x(x-a)

，
由題意得0＜x＜a，又∵a＞0，∴f″（x）恒大于0，
∴f′（x）在（0，a）為增函數，
令f′（x）=0，得x=

a

2

，則0＜

a

2

＜a，
∴f′（x）在（0，

a

2

）恒小于零，在（

a

2

，a）恒大于零，
則f（x）在（0，

a

2

）遞減，在（

a

2

，a）遞增
要使f（x）在（0，a）有解，
則f（x）的最小值：f（

a

2

）=

a

2

ln

a

2

+（a-

a

2

）ln（a-

a

2

）=aln（

a

2

）≤0，
設g（x）=

x

2

lnx，x＞0，
且g′(x)=

1

2

lnx+

1

2

=0，得x=

1

e

，
∴g（x）在（0，

1

e

）遞減，在（

1

e

，+∞）遞增，
∵當x趨向于零時，g（x）=

x

2

lnx＜0，最小值g（

1

e

）＜0，
且g（1）=

1

2

ln1=0，此時a=2，
又由a＞0，解得a的范圍為（0，2]，
故選B．

點評：本題考查了方程的根與函數零點的轉化，以及導數與函數單調性、最值的關系，此題較難涉及了二次求導問題，以及恒成立的轉化問題，構造函數法，可作為壓軸題．