Question

設方程xlnx=2013的解為α，方程xe^x=2013的解為β，則α•β的值為________．

Answer 1

2013
分析：由已知可得α是函數f（x）=lnx的圖象與函數h（x）=的圖象交點的橫坐標，同理β是函數g（x）=e^x的圖象與函數h（x）=的圖象交點的橫坐標，而函數f（x）=lnx與函數g（x）=e^x互為反函數，互為反函數的圖象關于直線y=x對稱，據此可得到答案．
解答：由方程xlnx=2013，得，
∵α為方程xlnx=2013的解，∴α是函數f（x）=lnx的圖象與函數h（x）=的圖象交點的橫坐標，于是兩個函數的交點為P；
同理β是函數g（x）=e^x的圖象與函數h（x）=的圖象交點的橫坐標，于是兩個函數的交點為Q；
∵函數f（x）=lnx與函數g（x）=e^x互為反函數，
∴點P與Q關于直線y=x對稱，
∴，即αβ=2013．
故答案為2013．
點評：本題考查方程的解，其實質是考查互為反函數的圖象關于直線y=x對稱．