Question

8．已知函數f（x）=log_a$\frac{x-2a}{x+2a}$，g（x）=log_a（x+2a）+log_a（4a-x），其中a＞0，且a≠1．
（1）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）已知區間D=[2a+1，2a+$\frac{3}{2}$]滿足3a∉D，設函數h（x）=f（x）+g（x），h（x）的定義域為D，若對任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{x-2a}{x+2a}＞0$，解得：函數f（x）的定義域，再由函數奇偶性的定義，可判斷出f（x）為奇函數．
（2）若對任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，即為|${log_a}（-{x^2}+6ax-8{a^2}）$|≤2恒成立，分類求出各種情況下滿足條件的a值，綜合可得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由$\frac{x-2a}{x+2a}＞0$，整理得（x+2a）（x-2a）＞0，解得x＜-2a，或x＞2a，
∴f（x）的定義域為（-∞，-2a）∪（2a，+∞）．…（2分）
又∵$f（x）+f（-x）={log_a}\frac{x-2a}{x+2a}+{log_a}\frac{-x-2a}{-x+2a}$=${log_a}（\frac{x-2a}{x+2a}•\frac{x+2a}{x-2a}）={log_a}1=0$，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）為奇函數．…（4分）
（2）由已知3a∉[2a+1，2a+$\frac{3}{2}$]，
∴2a+1＞3a，或2a+$\frac{3}{2}$＜3a，即0＜a＜1，或a＞$\frac{3}{2}$． …（5分）
又∵要使g（x）有意義，就須使x+2a＞0，且4a-x＞0，即-2a＜x＜4a，
結合（1）中f（x）的定義域知函數h（x）的自變量x須滿足2a＜x＜4a．
由題知h（x）在區間[2a+1，2a+$\frac{3}{2}$]上有意義，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a+1＞2a\\ 2a+\frac{3}{2}＜4a\end{array}\right.$解得a＞$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$＜a＜1，或a＞$\frac{3}{2}$．…（6分）
∵h（x）=f（x）+g（x）=${log_a}\frac{x-2a}{x+2a}$+log_a（x+2a）+log_a（4a-x）=${log_a}（-{x^2}+6ax-8{a^2}）$，
∴|h（x）|≤2恒成立，即為|${log_a}（-{x^2}+6ax-8{a^2}）$|≤2恒成立．
因為 3a∉[2a+1，2a+$\frac{3}{2}$]，所以h（x）≠2，
即題意轉化為對任意x∈[2a+1，2a+$\frac{3}{2}$]，不等式-2≤${log_a}（-{x^2}+6ax-8{a^2}）＜2$應恒成立．
…（7分）
①當$\frac{3}{4}＜a＜1$時，上式等價于a²＜-x²+6ax-8a²≤a^-2應恒成立．
由于左端a²＜-x²+6ax-8a²，即（x-3a）²＜0，顯然不成立．…（8分）
②當$a＞\frac{3}{2}$時，問題轉化為a^-2≤-x²+6ax-8a²＜a²應恒成立．
對于右端-x²+6ax-8a²＜a²，等價于（x-3a）²＞0，顯然成立．
研究左端${x^2}-6ax+8{a^2}+\frac{1}{a^2}$≤0成立的條件．
令$h（x）={x^2}-6ax+8{a^2}+\frac{1}{a^2}={（x-3a）^2}-{a^2}+\frac{1}{a^2}$，對稱軸x=3a，開口向上．
由$a＞\frac{3}{2}$知$2a+\frac{3}{2}＜3a$，故h（x）在區間[2a+1，2a+$\frac{3}{2}$]上是減函數，
∴h（x）_max=h（2a+1），
∴要使左端成立，只需h（2a+1）＜0成立，
即需${（2a+1）^2}-6a（2a+1）+8{a^2}+\frac{1}{a^2}＜0$，
也就是需2a³-a²-1＞0，
也就是（a-1）（2a²+a+1）＞0，
只須a＞1，而已知$a＞\frac{3}{2}$，故當$a＞\frac{3}{2}$時，不等式a^-2≤-x²+6ax-8a²＜a²恒成立．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，+∞）．…（10分）

點評 本題考查的知識點是函數的定義域，函數的奇偶性，函數恒成立問題，函數的最值，難度中檔．