Question

（2012•廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率，且橢圓C上的點到點Q（0，2）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）見解析

（1）由得a²=3b²，橢圓方程為x²+3y²=3b²
橢圓上的點到點Q的距離=
①當﹣b≤﹣1時，即b≥1，得b=1
②當﹣b＞﹣1時，即b＜1，得b=1（舍）
∴b=1
∴橢圓方程為
（2）假設M（m，n）存在，則有m²+n²＞1
∵|AB|=，點O到直線l距離
∴=
∵m²+n²＞1
∴0＜＜1，∴
當且僅當，即m²+n²=2＞1時，S_△AOB取最大值，
又∵
解得：
所以點M的坐標為或或或，△AOB的面積為．