Question

（本題滿分12分）已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率，過點和的直線與坐標原點距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，若直線與橢圓相交于兩點，試判斷是否存在值，使以為直徑的圓過定點？若存在求出這個值，若不存在說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在.

【解析】

試題分析：（1）根據題意雙曲線的離心率為，直線的方程：利用點到直線的距離公式得到：聯立解得：進而求得橢圓方程；（2）假設存在這樣的值，由直線方程和（1）求得的橢圓方程聯立，同時運用韋達定理得到，，若以為直徑的圓經過點，須有，即：.聯立，求得.

試題解析：（1）直線方程為：.

依題意 解得：

∴ 橢圓方程為 .

（2）假設存在這樣的值，由得：

∴ ①

設， ，，則 ②

而

要使以為直徑的圓過點，當且僅當時，則，即

∴ ③

將②式代入③整理解得 經驗證，，使①成立

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E.

考點：1.橢圓的標準方程；2.韋達定理.