Question

函數的圖象上有兩點A（0，1）和B（1，0）

   （Ⅰ）在區間（0，1）內，求實數a使得函數的圖象在x=a處的切線平行于直線AB；

   （Ⅱ）設m>0，記M（m，），求證在區間（0，m）內至少有一實數b，使得函數圖象在x=b處的切線平行于直線AM.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：直線AB斜率kAB=－1  令 解得    （Ⅱ）證明：直線AM斜率 考察關于b的方程 即3b2－2b－m2+m=0  在區間（0，m）內的根的情況  令g(b)= 3b2－2b－m2+m，則此二次函數圖象的對稱軸為 而 g(0)=－m2+m=m(1－m) g(m)=2m2－m－m(2m－1) ∴（1）當內有一實根 （2）當內有一實根 （3）當內有一實根 綜上，方程g(b)=0在區間（0，m）內至少有一實根，故在區間（0，m）內至少有一實數b，使得函數圖象在x=b處的切線平行于直線AM