Question

如圖，函數y=

3

2

|x|在x∈[-1，1]的圖象上有兩點A，B，AB∥Ox軸，點M（1，m）（m是已知實數，且m＞

3

2

）是△ABC的邊BC的中點．
（1）寫出用B的橫坐標t表示△ABC面積S的函數解析式S=f（t）；
（2）求函數S=f（t）的最大值，并求出相應的C點坐標．

Answer 1

分析：（1）欲求△ABC面積S，關鍵是求邊AB的長及相應的高，依題意，設B（t，

3

2

t），A（-t，

3

2

t）（t＞0），C（x₀，y₀）．求出△ABC中邊|AB|及AB邊上的高h，再利用三角形的面積公式計算即得；
（2）先對函數式進行了配方得：S=-3t²+2mt=-3（t-

m

3

）²+

m2

3

，t∈（0，1]．下面結合二次函數的圖象與性質求解其最大值即可．

解答：解：（1）依題意，設B（t，

3

2

t），A（-t，

3

2

t）（t＞0），C（x₀，y₀）．
∵M是BC的中點，∴

t+x0

2

=1，

3 2 t+y0

2

=m，∴x₀=2-t，y₀=2m-

3

2

t．
在△ABC中，|AB|=2t，AB邊上的高h=y₀-

3

2

t=2m-3t．
∴S=

1

2

|AB|•h=

1

2

•2t•（2m-3t）=-3t²+2mt，t∈（0，1]．
（2）S=-3t²+2mt=-3（t-

m

3

）²+

m2

3

，t∈（0，1]．若

0＜ m 3 ≤1 m＞ 3 2

，
即

3

2

＜m≤3．當t=

m

3

時，S_max=

m2

3

，相應的C點坐標是（2-

m

3

，

3

2

m）．
若

m

3

＞1，即m＞3時，S=f（t）在區間（0，1]上是增函數，
∴S_max=f（1）=2m-3，相應的C點坐標是（1，2m-

3

2

）．

點評：本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數的知識解決實際問題的能力．屬于基礎題．