Question

13．某種產品的廣告費用支出x（萬元）與銷售額y（萬元）之間有如下的對應數據：

x	2	4	6	8	10
y	40	50	70	90	100

（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x 的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a

p（K2≥k）	…	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001	…
k	…	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828	…

（其中：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$　）求回歸直線方程．
（2）據此估計廣告費用為12時，銷售收入y的值．

Answer 1

分析 （1）首先做出x，y的平均數，代入b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，求出線性回歸直線的方程的系數，寫出回歸直線的方程，
（2）將x=12代入回歸方程得出y，即銷售收入y的估計值．

解答 解：（1）由題意知$\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$，$\overline{y}=\frac{40+50+70+90+100}{5}=70$
$\widehat{b}=\frac{（80+200+420+720+1000）-5×6×70}{（4+16+36+64+100）-5×36}$=8
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=70-8×6=22，
所以回歸直線方程為：$\stackrel{∧}{y}$=8x+22；
（2）當x=12時y=118，因此估計得到當廣告費用為12萬元時銷售收入為118萬元．

點評 本題考查回歸直線方程的應用，回歸直線方程的求法，考查計算能力，屬于中檔題．