Question

設|

m

|=1，|

n

|=2，2

m

+

n

與

m

-3

n

垂直，

a

=4

m

-

n

，

b

=7

m

+2

n

，
（1）求 

m

•

n

的值；
（2）求＜

a

，

b

＞

Answer 1

分析：（1）由2

m

+

n

與

m

-3

n

垂直，得（2

m

+

n

）•（

m

-3

n

）=0，化簡整理并結合題中數據，即可得到

m

•

n

=-2；
（2）由向量數量積的計算公式，算出cos＜

a

，

b

＞=-1，結合兩個向量夾角的范圍即可得到＜

a

，

b

＞的值．

解答：解：（1）∵2

m

+

n

與

m

-3

n

垂直，
∴（2

m

+

n

）•（

m

-3

n

）=0，即2|

m

|²-5

m

•

n

-3|

n

|²=0
∵|

m

|=1，|

n

|=2，
∴2×1²-5

m

•

n

-3×2²=0，解之得

m

•

n

=-2；
（2）∵|

m

|=1，|

n

|=2，
∴

m

•

n

=|

m

|•|

n

|cos＜

m

，

n

＞=-2，即cos＜

a

，

b

＞=-1
又∵＜

a

，

b

＞∈[0，π]，∴＜

a

，

b

＞=π

點評：本題給出向量

m

、

n

的模，在已知2

m

+

n

與

m

-3

n

垂直的情況下求向量的數量積與夾角．著重考查了平面向量數量積及其運算性質，向量的夾角公式等知識，屬于中檔題．