Question

設數列，，，已知，，，，，（）．
（1）求數列的通項公式；
（2）求證：對任意，為定值；
（3）設為數列的前項和，若對任意，都有，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）．

試題分析：（1）根據已知條件與待求式，作差，可得，而，故數列是等比數列，通項公式可求；（2）考慮要證的表達式求和
，表面上看不出什么，但由，可得，由由，可以想象，是常數，因此可用數學歸納法證明；（3）由（1）（2）可解得，那么其前項和可用分組求和法求得，，這樣我們就可求出，，相當于，由于，從而，一直是我們只要求得的最大值和的最小值，則就是，由此可求得的范圍．
試題解析：（1）因為，，所以（），     （１分）
所以，，
，   （2分）
即數列是首項為，公比為的等比數列， （3分）
所以．   （4分）
（2）解法一：， （1分）
因為，所以，，
猜測：（）． （2分）
用數學歸納法證明：
①當時，，結論成立；    （3分）
②假設當（）時結論成立，即，那么當時，，即時結論也成立． （5分）
由①，②得，當時，恒成立，即恒為定值．（6分）
解法二：，      （1分）
所以，（4分）
而，所以由上述遞推關系可得，當時，恒成立，即恒為定值．（6分）
（3）由（1）、（2）知，所以，（1分）
所以，
所以， （2分）
由得，
因為，所以， （3分）
當為奇數時，隨的增大而遞增，且，
當為偶數時，隨的增大而遞減，且，
所以，的最大值為，的最小值為．  （4分）
由，得，解得． （6分）
所以，所求實數的取值范圍是．