Question

4位男生和4位女生共8位同學(xué)站成一排，計(jì)算下列情況的排隊(duì)種數(shù)：
（1）男生甲和女生乙相鄰排隊(duì)；
（2）男生甲和女生乙順序固定；
（3）若女生甲不站兩端，4位男生中有且只有兩位男生相鄰．

Answer 1

分析：（1）用捆綁法，先將甲、乙看成一個(gè)元素，同時(shí)考慮其順序，再將甲乙與其他人進(jìn)行全排列，由排列數(shù)公式，可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案；
（2）用倍分法，先對(duì)8個(gè)人全排列，由排列公式，可得其情況數(shù)目，進(jìn)而分析可得其中甲乙的順序有兩種情況，且其數(shù)目各占一半，由倍分法計(jì)算可得答案；
（3）分3步進(jìn)行分析：第1步，先排甲之外的三個(gè)女生，排好后，有4個(gè)空位，第2步，用捆綁法，在男生中取出兩人，看成一個(gè)元素，同時(shí)考慮其順序，將其與剩余的2名男生，插入女生的空位中，第3步，在其排好的空位中，插入女生甲，分別計(jì)算每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）將甲、乙看成一個(gè)元素，考慮其順序，有2種情況，
將甲乙與其他人進(jìn)行全排列，共7個(gè)元素，有A₇⁷=5040種情況，
共有2×5040=10080種情況；
（2）先對(duì)8個(gè)人全排列，有A₈⁸=40320種情況，
其中甲乙的順序有兩種情況，即甲在乙前或甲在乙后，數(shù)目各占一半，
則甲、乙順序一定的情況有

1

2

×40320=20160種情況，
（3）先排甲之外的三個(gè)女生，有A₃³=6種情況，排好后，有4個(gè)空位，
在男生中取出兩人，考慮其順序，有2C₄²=12種情況，
將其與剩余的2名男生，在女生的4個(gè)空位中，任取3個(gè)插入，有A₄³=24種情況，有6×12×24=1728種方法，
此時(shí)排除兩端的空位，有5個(gè)空位可用，插入女生甲，有5種情況，
則共有1728×5=8640種情況．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的運(yùn)用，關(guān)鍵要掌握常見問題的處理方法，優(yōu)先分析受限制的元素，不相鄰問題用插空法，相鄰問題用捆綁法．