Question

某學校要用鮮花布置花圃中ABCDE五個不同區域，要求同一區域上用同一種顏色的鮮花，相鄰區域使用不同顏色的鮮花．現有紅、黃、藍、白、紫五種不同顏色的鮮花可供任意選擇．
（Ⅰ）當A、D區域同時用紅色鮮花時，求布置花圃的不同方法的種數；
（Ⅱ）求恰有兩個區域用紅色鮮花的概率；
（Ⅲ）記ξ為花圃中用紅色鮮花布置的區域的個數，求隨機變量ξ的分布列及其數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）當A、D區域同時用紅色鮮花時，其它區域不能用紅色，即可求出答案．
（II）顏色相同的區域只可能是區域A、D和區域B、E，求出基本事件的總數和恰有兩個區域用紅色鮮花所包含的基本事件的個數即可求得．
（III）花圃中紅色鮮花區域的塊數可能為0，1，2．求出相應的概率即可求得分布列及期望．

解答：解：（I）當A、D區域同時用紅色鮮花時，其它區域不能用紅色，
布置花圃的不同方法的種數4×3×3=36種．
（II）設M表示事件“恰有兩個區域用紅色鮮花”，如圖：
當區域A、D同色時，共有5×4×3×1×3=180種；
當區域A、D不同色時，共有5×4×3×2×2=240種；
因此，所有基本事件總數為：180+240=420種
又因為A、D為紅色時，共有4×3×3=36種；
B、E為紅色時，共有4×3×3=36種；
因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72種
所以，恰有兩個區域用紅色鮮花的概率P（M）=

72

420

=

6

35

．
（III）由題意可得：隨機變量ξ的取值分別為0，1，2．
則當ξ=0時，用黃、藍、白、橙四種顏色來涂色，
若A、D為同色時，共有4×3×2×1×2=48種；
若A、D為不同色時，共有4×3×2×1×1=24種；
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72種，
所以P（ξ=0）=

72

420

=

6

35

；
由第（2）可得P（ξ=2）=

6

35

；
所以P（ξ=1）=1-

6

35

-

6

35

=

23

35

．
從而隨機變量X的分布列為

ξ	0	1	2
P	6 35	23 35	6 35

∴E（ξ）=0×

6

35

+1×

23

35

+2×

6

35

=1．

點評：解決此類問題的根據是熟練利用排列與組合的知識對區域進行涂色，以及掌握等可能事件概率的計算公式與離散型隨機變量的期望與方差．